Интервальное число – это
нечеткое множество с функцией принадлежности, равной 1 на отрезке [a, b] и равной 0 вне этого
отрезка. Проще говоря, интервальное число – это (замкнутый) интервал [a, b]. Интервальное число – самый
простой частный случай нечеткого множества. Хотя для интервальных чисел не
выполняется одно из важных свойств нечетких множеств – непрерывность перехода
от «непринадлежности к множеству» к «принадлежности», это математическое
понятие позволяет успешно моделировать разброс результатов косвенных измерений
и погрешности других расчетов в прикладных научных исследованиях.
Интервальные числа часто
используются для описания результатов измерений, поскольку измерение всегда
проводится с некоторой неопределенностью. Прогноз погоды, как и другие
прогнозы, дается в виде интервала, например: «Температура завтра днем будет 15
– 17 градусов Цельсия».
Арифметические операции над интервальными
числами [a, b]
и [c, d]
определяются следующим образом:
[a,
b] + [c, d] = [a + c, b + d], [a, b] – [c,
d] = [a – d+ c, b – c],
[a,
b] [c, d] = [ac, bd], [a,
b] / [c, d] = [a/d, b/c]
(формулы для умножения и
деления приведены в случае положительных чисел a,
b, c, d).
Эти формулы получены при решении соответствующих оптимизационных задач. Пусть х лежит в отрезке [a, b], а у — в отрезке [c, d]. Каково минимальное и максимальное
значение для х + у?
Очевидно, a
+
c и b + d соответственно. Минимальные
и максимальные значения для х – у, ху, х/у указывают нижние и
верхние границы для интервальных чисел, задающих результаты арифметических
операций. А от арифметических операций можно перейти ко всем остальным
математическим алгоритмам. Так строится интервальная математика: определив
арифметические операции, можем по аналогии с обычной математикой проводить
различные расчеты, поскольку алгоритмы расчетов представляют собой
последовательности арифметических действий.
Первая монография по
интервальной математике была опубликована Р.Е. Муром [23] в
Любую математическую
конструкцию, использующую числа, можно обобщить, заменив обычные числа на интервальные. Таким образом, применение интервальных
чисел позволяет произвести «интервальное удвоение» математики. Открывается большое
поле для теоретических исследований, имеющих непосредственный практический
интерес. Вначале основные применения были связаны с автоматическим контролем
ошибок округления при вычислениях на ЭВМ. Затем начали учитывать ошибки дискретизации
численных методов и ошибки в начальных данных. Статистика интервальных данных
исходит из модели, согласно которой элементы выборки известны лишь с точностью до «плюс-минус дельта», т.е.
выборка состоит из интервалов фиксированной длины со случайными концами.
«Интервальное удвоение»
математики состоит в том, что всюду, где используются действительные числа, их
можно заменить интервалами (интервальными числами). Например, можно решать
системы линейных алгебраических уравнений с интервальными коэффициентами или
системы линейных дифференциальных уравнений с интервальными коэффициентами и
интервальными граничными условиями. В статистике интервальных данных элементы
выборки – не числа, а интервалы. В этом разделе прикладной статистики
разработаны принципиально новые (по сравнению с классической математической
статистикой) подходы, основанные на понятиях нотны и
рационального объемы выборки (см. следующую главу).
Констатируем необходимость
расширения математического аппарата с целью учета присущих
реальности нечеткости и интервальности. Такая необходимость отмечалась в ряде
публикаций [25-27], но пока еще не стала общепризнанной. На описании
неопределенностей с помощью вероятностных моделей не останавливаемся, поскольку
такому подходу посвящено множество работ.
Рассмотрим подробнее статистику
интервальных данных.