ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ, ПРАГМАТИЧЕСКИЕ
И КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЧИСЛА

Обсудим базовое для математики понятие числа. Будем считать, что читателю знакомы математические числа, о которых рассказывают в средней и высшей школе - натуральные числа, дроби, действительные (вещественные) числа. Комплексные числа и кватернионы не потребуют специального обсуждения..

2.1. Реально используем не математические числа

Констатируем, что реально используемые – назовем их прагматическими - числа зачастую не являются математическими. Так, результаты измерений обычно задаются небольшим количеством значащих цифр (от 1 до 5).

Например, записывать численность жителей страны с точностью до одного человека бессмысленно, поскольку указанная численность весьма быстро меняется. Так, для России начала текущего тысячелетия каждые пятнадцать секунд умирал человек, каждые двадцать секунд появлялся новорожденный, следовательно, каждую минуту численность населения уменьшалась на одного человека, а потому любое конкретное значение этой численности с точностью до одного человека могло соответствовать действительности в течение лишь одной минуты.

Экономические величины порядка миллиардов рублей бессмысленно записывать с точностью до копеек. Надо – с точностью до миллионов.

Расчеты обычно ведем, используя десятичную запись чисел. Напомним, что многие математические числа требуют для своей записи бесконечно много десятичных знаков. Например, длина диагонали квадрата со сторонами единичной длины не может быть выражена конечным числом десятичных знаков. Как и длина окружности единичного диаметра и основание натуральных логарифмов. И даже запись результата деления 1 на 3 состоит – в математике – из бесконечного числа десятичных знаков: 0,3333333... Десятичная запись - это декларативная форма представления числа, при которой число непосредственно готово для использования в вычислениях, а представление чисел в виде формул - это процедурная форма представления числа, подобная алгебраической, при которой перед использованием числа для вычислений необходимо предварительно еще вычислить его. Проблема в том, что это надо делать, но это не всегда возможно, даже в принципе (например в случае иррациональных чисел).

На практике мы используем числа в десятичной записи, иногда дроби. Так, результаты измерений обычно задаются небольшим количеством значащих цифр (от 1 до 5). Т.е. пользуемся множеством чисел из конечного числа элементов. Даже если обобщить арифметическую практику, принять, что могут использоваться любые дроби (записываемые конечным количеством цифр), то множество возможных числе оказывается счетным. А множество действительных чисел имеет мощность континуума. Это означает, что почти все действительные числа «существуют» только в теории, не встречаются при вычислениях. Хорошо известны примеры таких чисел – длина диагонали квадрата с единичной стороной, площадь круга радиуса 1, основание натуральных логарифмов. Их обозначают специальными значками, а при вычислениях вынуждены использовать лишь приближенные значения.

Среди реально используемых чисел выделим два класса – прагматические и компьютерные.

2.2. Прагматические числа

Прагматические числа – это результаты измерений, прямых иди косвенных (рассчитанных по результатам прямых измерений), с помощью средств измерений или экспертных. Инженеры хорошо знают, что результат измерения всегда имеет погрешность, и указывают оценку погрешности (например, вносят ее в технический паспорт средства измерения). Экономисты также понимают принципиальную неточность своих расчетов, однако погрешность указывают не всегда, хотя ясно, что при рассмотрении экономической величины порядка нескольких миллиардов рублей нет смысла принимать во внимание копейки (а также и сотни тысяч рублей).

Итак, при решении реальных задач мы вынуждены пользоваться не математическими числами, а прагматическими. В результате тождества чистой математики не всегда выполняются при анализе данных, выраженных прагматическими числами.

Например, для выборочной дисперсии, рассчитанной по выборке x₁, x₂, …, x_n, с точки зрения чистой математики справедливо тождество, которое проверяется с помощью равносильных преобразований:

.

Однако расчеты по левой и правой частям этой формулы могут дать весьма различающиеся значения. Например, рассмотрим ситуацию, когда x_i = 10⁹ + y_i, i = 1, 2, …, n, где y_i – величины порядка 1 (для определенности, от (-3) до 3). Тогда в левой части формулы усредняются величины порядка 1 (числа от 0 до 9). А вот в правой из числа порядка 10¹⁸ вычитается число также порядка 10¹⁸, т.е. каждое из них имеет 18 знаков до запятой, и первые 17 из них должны совпасть. Ясно, что из-за погрешностей вычислений такое совпадение будет не всегда. Вычисления по правой части формулы для выборочной дисперсии могут число, заметно отличающееся от результата расчета по левой части. Например, может получиться отрицательное число. Приходилось видеть весьма недоумевающие лица прикладников, у которых дисперсия получилась отрицательной.

2.3. Компьютерные числа

Компьютерные числа - результаты компьютерных расчетов. Они могут быть получены не при анализе прагматических числе, а при расчетах на условных примерах. Принципиальным является понятие машинного нуля. Все математические числа, меньшие (по абсолютной величине) некоторой границы, компьютер воспринимает как 0.

Как следствие существования «машинного нуля», некоторые результаты чистой математики неверны для расчетов на компьютерах. Например, с точки зрения чистой математики сумма

при росте числа слагаемых n стремится к бесконечности (известно, что это сумма растет как lnn – натуральный логарифм числа слагаемых). При расчетах на компьютере при росте числа слагаемых наступит момент, когда очередное слагаемое станет меньше «машинного нуля», компьютер его (и все дальнейшие) воспримет как 0, сумма перестанет меняться, останется конечной. Компьютер выдаст в качестве суммы ряда некоторое число (а отнюдь не бесконечность. (Для конкретного случая можно разрабатывать специально для него приспособленные алгоритмы расчетов. Но это не меняет общего вывода об отличии компьютерных числе от математических.)

Констатируем, что реально используемые числа зачастую не являются математическими. Из сказанного вытекает необходимость модернизации основ математики. Нужен математический аппарат, позволяющий оперировать с прагматическими и компьютерными числами.

Принципиальное различие математических, прагматических и компьютерных чисел подробно обсуждает Е.М. Левич [4].

2.4. Два парадокса, связанные с числами

Приведем еще два парадокса, основанных на этом различии [5].

Как уже отмечалось, все реальные результаты наблюдений записываются рациональными числами (обычно десятичными числами с небольшим - от 2 до 5 - числом значащих цифр). Как известно, множество рациональных чисел счетно, а потому вероятность попадания значения непрерывной случайной величины в него равно 0. Следовательно, все рассуждения, связанные с моделированием непрерывными случайными величинами реальных результатов наблюдений - это рассуждения о том, что происходит внутри множества меры 0. Первый парадокс состоит в том, что множествами меры 0 в теории вероятностей принято пренебрегать. Другими словами, с точки зрения теории вероятностей всеми реальными данными можно пренебречь, поскольку они входят в одно фиксированное множество меры 0. Т.е. реальный мир не существует с точки зрения математика.

Глубже проанализируем ситуацию. Сколько всего чисел используется для записи реальных результатов наблюдений? Речь идет о типовых результатах наблюдений, измерений, испытаний, опытов, анализов в технических, естественнонаучных, экономических, социологических, медицинских и иных исследованиях. Если эти числа в десятичной записи имеют вид (a,bcde)10^k, где a принимает значения от 1 до 9, а стоящие после запятой b, c, d, e - от 0 до 9, в то время как показатель степени k меняется от (-100) до +100, то общее количество возможных чисел равно 9х10⁴х201=18 090 000, т.е. меньше 20 миллионов. А с учетом знака – 40 миллионов. Второй парадокс, усиливающий первый, состоит в том, что для описания реальных результатов наблюдений вполне достаточно 40 миллионов отдельных символов. Бесконечность натурального ряда и континуум числовой прямой - это математические абстракции, надстроенные над дискретной и состоящей из конечного числа элементов совокупностью прагматических чисел, отражающих результаты реальных измерений. (При изменении числа значащих цифр принципиальный вывод не меняется.) Таким образом, реальные данные лежат не только во множестве меры 0, но и в конечном множестве, причем число элементов в этом множестве вполне обозримо.

Из сказанного вытекает необходимость модернизации основ математики. Нужен математический аппарат, позволяющий оперировать с прагматическими и компьютерными числами.